De manera informal, un grup és cíclic si el genera un sol element. És abelià si la multiplicació commuta. Un grup és cíclic si pot ser generat per un sol element.
Un grup abelià és cíclic?
Tots els grups cíclics són abelians, però un grup abelià no és necessàriament cíclic. Tots els subgrups d'un grup abelià són normals. En un grup abelià, cada element es troba en una classe de conjugació per si mateix i la taula de caràcters inclou les potències d'un sol element conegut com a generador de grups.
Com es demostra que un grup abelià és cíclic?
Prova
- Sigui G un grup cíclic amb un generador g∈G. És a dir, tenim G=⟨g⟩ (cada element de G és una potència de g.)
- Siguin a i b elements arbitraris en G. Aleshores existeix n, m∈Z tal que a=gn i b=gm.
- Per tant, obtenim ab=ba per a arbitrari a, b∈G. Per tant, G és un grup abelià.
Com saps si un grup és cíclic?
4 respostes. Un grup finit és cíclic si, i només si, té precisament un subgrup de cada divisor del seu ordre. Per tant, si trobeu dos subgrups del mateix ordre, aleshores el grup no és cíclic i això pot ajudar de vegades.
Què és el grup cíclic que explica amb un exemple?
Per exemple, (Z/6Z)×={1, 5} , i com que 6 és el doble de primer senar, això és un grup cíclic. … Quan (Z/nZ)× és cíclic, els seus generadors s'anomenen arrels primitives mòdul n. Per a un nombre primer p, el grup (Z/pZ)× és sempre cíclic, format pels elements diferents de zero del camp finit d'ordre p.
