Si A és una matriu m × n, aleshores ATA i AAT tenen els mateixos valors propis diferents de zero … Per tant, Ax és un vector propi d'AAT corresponent al valor propi λ. Es pot utilitzar un argument anàleg per demostrar que cada valor propi diferent de zero d'AAT és un valor propi d'ATA, completant així la demostració.
Els valors propis d'AAT i ATA són els mateixos?
Les matrius AAT i ATA tenen els mateixos valors propis diferents de zero. La secció 6.5 va mostrar que els vectors propis d'aquestes matrius simètriques són ortogonals.
És el mateix ATA que AAT?
Com que AAT i ATA són simètrics reals, es poden diagonalitzar amb matrius ortogonals. De la declaració anterior es dedueix (ja que les multiplicitats geomètriques i algebraiques coincideixen) que AAT i ATA tenen els mateixos valors propis.
L'ATA té valors propis diferents?
Veritat. Per exemple, si A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , aleshores l'equació característica det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 no té arrel repetida. Per tant, tots els valors propis de A són diferents i A és diagonalitzable. 3.35 Per a qualsevol matriu real A, AtA sempre és diagonalitzable.
Poden diferents vectors propis tenir el mateix valor propi?
Dos vectors propis diferents corresponents al mateix valor propi sempre depenen linealment. Dos vectors propis diferents corresponents al mateix valor propi sempre depenen linealment.
