Teorema 1 Cada seqüència de nombres reals de Cauchy convergeix a un límit.
Com es troba el límit d'una seqüència de Cauchy?
Prove: el límit d'una seqüència de Cauchy an=limn→∞an.
Totes les seqüències de Cauchy convergeixen?
Cada seqüència real de Cauchy és convergent. Teorema.
Totes les seqüències convergents tenen un límit?
Per tant, per a totes les seqüències convergents , el límit és únic. Notació Suposem que {an}n∈N és convergent. Aleshores, segons el teorema 3.1, el límit és únic i, per tant, podem escriure'l com l, per exemple.
Una seqüència pot convergir a dos límits diferents?
significa que L1 − L2=0 ⇒ L1=L2, i per tant la seqüència no pot tenir dos límits diferents. Per a aquest ϵ, com que an convergeix a L1, tenim que existeix un índex N1 de manera que |an −L1| N1. Al mateix temps, an convergeix a L2, i per tant hi ha un índex N2 de manera que |an −L2| N2.
